命題２８
もし、２つの数が互いに素であるならば、それらの和もまたそれぞれに対し互いに素であり、もし、２つの数の和がそれらのどちらかと互いに素ならば、そのとき、元の数もまた互いに素である。
２つの互いに素であるABとBCが加えられたとせよ。
それらの和ACもまた、数ABとBCのぞれぞれに対し互いに素であると主張する。
もし、CAとABが互いに素でなければ、ある数DがCAとABを割り切る。
そのとき、DがCAとABを割り切るので、それゆえに、Dは残りのBCも割り切る。
しかし、DはBAも割り切る。
それゆえに、Dは互いに素であるABとBCを割り切り、これは不可能である。definitionⅦ．１２
それゆえに、数CAとABを割り切る数はない。
それゆえに、CAとABは互いに素である。
同じ理由でACとCBもまた互いに素である。
それゆえに、CAは数ABとBCのそれぞれに対し互いに素である。
次に、CAとABが互いに素であるとせよ。
ABとBCもまた互いに素であると主張する。
もし、ABとBCが互いに素でなければ、ある数DがABとBCを割り切る。
今、Dは数ABとBCのそれぞれを割り切るので、それゆえに、Dは全体CAも割り切る。
しかし、DはABも割り切る。
それゆえに、Dは互いに素であるCAとABを割り切り、これは不可能である。definitionⅦ．１２
それゆえに、数ABとBCを割り切る数はない。
それゆえに、ABとBCは互いに素である。
それゆえに、もし、２つの数が互いに素であるならば、それらの和もまたそれぞれに対し互いに素であり、もし、２つの数の和がそれらのどちらかと互いに素ならば、そのとき、元の数もまた互いに素である。
証明終了